Después de graduarse de Galatasaray High School en 1993, Ömür Budak completó sus estudios universitarios en la Universidad de Galatasaray, Departamento de Relaciones Internacionales en 1998, y su maestría en negocios internacionales en Buckinghamshire Chilterns University College.

Comenzó su carrera en el Ministerio de Relaciones Exteriores en 2002 en la Dirección General Adjunta de los Estados Unidos, luego ocupó varios cargos en la Embajada de Bakú, en la Representación Permanente de Türkiye ante la Unión Europea, fue Subsecretario Adjunto responsable de las relaciones con Europa y los Balcanes, y prestó funciones en la Representación Permanente de Türkiye ante la ONU entre 2012 y 2014. Entre 2014 y 2018, se desempeñó en la Vicepresidencia y Secretaría Privada del Presidente, y como Cónsul General de Boston entre 2014 y 2018.

Ömür Budak, quien participó en el programa de posgrado de la Academia de Diplomacia de Viena en 2006-2007, estudió derecho internacional en la Universidad de Columbia en 2011; Entre 2014 y 2018, trabajó en el campo de la historia diplomática en el Centro Weatherhead para Asuntos Internacionales y el Centro de Estudios del Medio Oriente de la Universidad de Harvard.

Ömür Budak, que fue consejero especial adjunto del ministro de Asuntos Exteriores entre 2019 y 2022, comenzó su misión como Embajador en Buenos Aires el 15 de febrero de 2023.